Une année de MAPLE et SCILAB en MP* (french)
S O M M A I R E
1 X 2012
2 Scilab for dummies
2.1 Avant de commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Scilab comme super-calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
Les opérations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2
Un brin d’informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3
Définir une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 L’objet de base de Scilab : la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
Utilisation d’une matrice ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Les graphiques
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2.5 La programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1
Les tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2
Boucles for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3
Boucles while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4
Récursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Interpolations
3.1 Schéma de Horner-Ruffini-Holdred-Newton-Al-Tusi-Liu-Hui… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
Un peu d’histoire… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2
Complexité
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3
Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1
L’idée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2
Un exemple avec un pas constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3
Cas général
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3.4 Observation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Quelques idées pour la frise… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Dérivation et intégration numérique
4.1 Dérivation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1
Méthode de quadrature simplifiée déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2
Méthodes de NEWTON-COTES
composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3
La méthode de ROMBERG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4
Méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Lectures
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5 Discrétisation d’équations différentielles
5.1 Principe
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5.2 Méthode d’Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Méthode d’Euler modifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Méthode RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 La boîte de Pandore des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1
Problème mal posé mathématiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2
Problème mal posé numériquement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3
Problème mal conditionné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4
Problèmes raides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Systèmes différentiels et ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1
Systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2
Ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Dessine-moi une matrice…
6.1 Lena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 La SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1
Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2
Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3
Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4
Approximation de rang minimum d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Manipulation d’images
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1
Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.3.2
Manipulations basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3
Gagner de la place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4
Enlever le bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5
Détection de bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 MAPLE et les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Systèmes dynamiques
7.1 Logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Correction des exercices
http://informathix.tuxfamily.org/?q=node/58
funcprot(0);
l = read('~/lena.csv',512,512);
lena = l';
x = [1:512];
y = [512:-1:1];
xset('colormap',graycolormap(256));
isoview(0,512,0,512);
//grayplot(x,y,lena)
function M = retourne(m)
n = length(m(1,:));
M = zeros(n,n);
for i = 1:n
for j = 1:n
M(i,j) = m(i,n + 1 - j)
end
end
endfunction
function M = miroir(m)
n = length(m(1,:));
M = zeros(n,n);
for i = 1:n
for j = 1:n
M(i,j) = m(n + 1 - i,j)
end
end
endfunction
//grayplot(x,y,retourne(lena))
//grayplot(x,y,miroir(lena))
//grayplot(x,y,255-lena)
function C = comp_svd(m,k)
[U,S,V] = svd(m);
V = V'
n = length(m(1,:));
C = zeros(k,k);
for p = 1:k
C = C + S(p,p)*(U(1:k,p) * V(k,1:k))
end
C = floor(C)
endfunction
//plot(x,diag(S)/S(1,1))
//grayplot(x,y,comp_svd(lena,50))
function R = resolution(m,k)
n = floor(length(m(1,:))/k);
R = zeros(n,n);
for i = 1:n
for j = 1:n
R(i,j) = m(k*i,k*j)
end
end
endfunction
//clf();
//isoview(0,256,0,256);
grayplot((1:512/2),(512/2:-1:1),resolution(lena,2))
function Q = quantification(m,k)
Q = floor(m ./ k)
endfunction
//grayplot(x,y,quantification(lena,64))
//grayplot(x,y,quantification(lena,64))
function C = contraste(m,f)
C = f(m)
endfunction
deff('[f] = f(x)', 'f = x .* x');
//deff('[f] = f(x)', 'f = floor(sqrt(x))');
//deff('[f] = f(x)', 'f = 255 - x');
//xset('colormap',graycolormap(512^2));
//grayplot(x,y,contraste(lena,sqrt))
//xset('colormap',graycolormap(512));
function F = fcontour(i,j,m)
F = floor(sqrt((m(i,j-1)-m(i,j+1))^2 + (m(i-1,j)-m(i+1,j))^2))
endfunction
function C = contour(m)
n = length(m(1,:));
C = zeros(n,n);
for i = 2:n-1
for j = 2:n-1
C(i,j) = 255 - fcontour(i,j,m)
end
end
endfunction
//grayplot(x,y,contour(lena))
function M = fmed(i,j,m,k)
M = floor(median(m(i-k:i+k,j-k:j+k)))
endfunction
function C = mediane(m,k)
n = length(m(1,:));
C = zeros(n,n);
for i = 1+k:n-k
for j = 1+k:n-k
C(i,j) = fmed(i,j,m,k)
end
end
endfunction
//grayplot(x,y,mediane(lena,3))
function M = fmean(i,j,m,k)
M = floor(mean(m(i-k:i+k,j-k:j+k)))
endfunction
function C = moyenne(m,k)
n = length(m(1,:));
C = zeros(n,n);
for i = 1+k:n-k
for j = 1+k:n-k
C(i,j) = fmean(i,j,m,k)
end
end
endfunction
//grayplot(x,y,moyenne(lena,3))
function B = bruit(m,ratio)
n = length(m(1,:));
B = m + 75*grand(n,n,'bin',1,ratio/100)
endfunction
//grayplot(x,y,bruit(lena,20))
//grayplot(x,y,moyenne(bruit(lena,20),2))